Fractales

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Características de un fractal

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características.

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo

Autosimilaridad:

La autosimilaridad es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

·         Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).  Ej.: Los triángulos de Sierpiński permiten observar la autosimilaridad exacta.

·         Cuasiautosimilitud o autosimilitud aproximada: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Ej.: El brócoli romanesco o coliflor romana es un ejemplo de autosimilaridad aproximada natural.

·         Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Ej. Se observa autosimilaridad estadística en las montañas.

Un ejemplo de autosimilaridad la poseen los fractales naturales que son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas

Ejemplos de Autosimilitud

El brócoli romanesco o coliflor romana es un ejemplo

 de autosimilaridad aproximada natural.

    Los triángulos de Sierpiński permiten

observar la autosimilaridad exacta.

 Se observa autosimilaridad estadística en las montañas.



Plano

 Explorando la autosimilitud: (Conjunto de Mandelbrot)  

  

Veámoslo más en detalle, a partir del plano siguiente :

Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen de la izquierda, donde:

Cuadro Verde (ampliado)



Salta a la vista que la bola negra a es una reducción exacta de la bola A. La protuberancia a la izquierda de a también es una reducción exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.

También se puede observar que la bola b es una reducción de A (una reducción combinada con una rotación, es decir que b se obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota un sinfín de protuberancias semejantes a A.


  




Cuadro Azul Oscuro (ampliado)

   

Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscuro. Al agrandarlo, obtenemos:

Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces, empezando por agrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadro

Cuadro Violeta (Ampliado)

 







Ampliacion de la mancha que aparece
en el cuadro Violeta



Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano:
En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene la misma forma que la imagen inicial. Al mirar más de cerca, se obtiene:

Y una vez más, el parecido salta a la vista.

Ampliación cuadro azul claro

 

Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano. Acerquémonos al cuadro blanco de dicha imagen:

Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.

Cuadro blanco (ampliado) del cuadro azul claro

Dimensión Fractal

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son

La dimensión fractal, ( ) es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente, es decir, la dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas.

Para poder calcular la dimensión fractal es necesario un conocimiento matemático de nivel superior, ya que requiere de límites, funciones avanzadas, etc.

Existen varias dimensiones de fractales, pero las más común es la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch que permite definir una dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Ejemplo de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch a la costa de gran bretaña
(seleccione la imagen para agrandarla)

Anteriormente mencionamos una característica de los fractales que especificaba que su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica, esto especifica que la dimensión fraccionaria (no-entera) de un objeto fractal es mayor a la propiedad del mismo que permanece inalterada por transformaciones continuas.

 Algoritmo recursivo

Un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad

Así que podemos decir que un  algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la solución de un problema en términos de una llamada a sí mismo. La llamada a sí mismo se conoce como llamada recursiva o recurrente.

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

• Sistemas de funciones iteradas (IFS). es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilaridad. Como por ejemplo: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, , la Esponja de Menger, entre otros

El Triangulo De Sierpinski

• Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, entre otros.

Fractal (conjunto de julia)

• Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos.

Movimiento Browniano