Fractales

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Características de un fractal

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características.

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo

Autosimilaridad:

La autosimilaridad es la propiedad de un objeto (llamado objeto autosimilar) en el que el todo es exacta o aproximadamente similar a una parte de sí mismo, por ejemplo cuando el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

·         Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).  Ej.: Los triángulos de Sierpiński permiten observar la autosimilaridad exacta.

·         Cuasiautosimilitud o autosimilitud aproximada: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Ej.: El brócoli romanesco o coliflor romana es un ejemplo de autosimilaridad aproximada natural.

·         Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Ej. Se observa autosimilaridad estadística en las montañas.

Un ejemplo de autosimilaridad la poseen los fractales naturales que son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas

Ejemplos de Autosimilitud

El brócoli romanesco o coliflor romana es un ejemplo

 de autosimilaridad aproximada natural.

    Los triángulos de Sierpiński permiten

observar la autosimilaridad exacta.

 Se observa autosimilaridad estadística en las montañas.



Plano

 Explorando la autosimilitud: (Conjunto de Mandelbrot)  

  

Veámoslo más en detalle, a partir del plano siguiente :

Al agrandar el cuadro verde, se obtiene la imagen de la izquierda, donde:

Cuadro Verde (ampliado)



Salta a la vista que la bola negra a es una reducción exacta de la bola A. La protuberancia a la izquierda de a también es una reducción exacta de a, y el proceso sigue indefinidamente.

También se puede observar que la bola b es una reducción de A (una reducción combinada con una rotación, es decir que b se obtiene de A mediante una semejanza). Mirando mejor, se nota un sinfín de protuberancias semejantes a A.


  




Cuadro Azul Oscuro (ampliado)

   

Volviendo al plano, escojamos esta vez el cuadro azul oscuro. Al agrandarlo, obtenemos:

Su parecido a la imagen inicial es obvio. El proceso se puede repetir un sinfín de veces, empezando por agrandar la pequeña mancha negra a la izquierda del cuadro

Cuadro Violeta (Ampliado)

 







Ampliacion de la mancha que aparece
en el cuadro Violeta



Ahora, ampliemos el cuadro violeta del plano:
En esta imagen aparece una mancha arriba a la izquierda que tiene la misma forma que la imagen inicial. Al mirar más de cerca, se obtiene:

Y una vez más, el parecido salta a la vista.

Ampliación cuadro azul claro

 

Ahora, agrandemos el cuadro azul claro de la derecha del plano. Acerquémonos al cuadro blanco de dicha imagen:

Aquí se nota una ligera deformación de la figura inicial. Sin embargo, esta imagen sigue siendo isomorfa a la inicial. Y claro, alrededor de cada clon de la forma inicial existen otros clones minúsculos, en las mismas posiciones relativas que en la figura global. El proceso no tiene fin.

Cuadro blanco (ampliado) del cuadro azul claro

Dimensión Fractal

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son

La dimensión fractal, ( ) es un número real que generaliza el concepto de dimensión ordinaria para objetos geométricos que no admiten espacio tangente, es decir, la dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas.

Para poder calcular la dimensión fractal es necesario un conocimiento matemático de nivel superior, ya que requiere de límites, funciones avanzadas, etc.

Existen varias dimensiones de fractales, pero las más común es la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch que permite definir una dimensión fraccionaria (no-entera) para un objeto fractal.

Ejemplo de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch a la costa de gran bretaña
(seleccione la imagen para agrandarla)

Anteriormente mencionamos una característica de los fractales que especificaba que su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica, esto especifica que la dimensión fraccionaria (no-entera) de un objeto fractal es mayor a la propiedad del mismo que permanece inalterada por transformaciones continuas.

 Algoritmo recursivo

Un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad

Así que podemos decir que un  algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la solución de un problema en términos de una llamada a sí mismo. La llamada a sí mismo se conoce como llamada recursiva o recurrente.

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

• Sistemas de funciones iteradas (IFS). es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntos fractales que presenten autosimilaridad. Como por ejemplo: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, , la Esponja de Menger, entre otros

El Triangulo De Sierpinski

• Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, entre otros.

Fractal (conjunto de julia)

• Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos.

Movimiento Browniano

Ejemplos de construcción de Fractales Sencillos:

Los Fractales a explicar serán:

·         El conjunto de cantor

·         El copo de nieve de koch

·         Triángulo de Sierpinski

·         La alfombra de Sierpinski

Pero antes de empezar a explicar como se construyen dichos fractales es necesario conocer dos conceptos fundamentales, estos son:

Teorema de Tales: que nos dice en su primera teoria (la cual aplicaremos) que "si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes"

Punto medio: es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. El punto medio se puede sacar de una simple manera con un compas y una regla de la siguiente manera:

Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor es el fractal por antonomasia, y también el primero conocido. Fue ideado por Georg Cantoren 1883 como ejemplo de conjunto de longitud cero cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta (que tiene longitud infinita).

Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos). Cada una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales (abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro segmentos que quedan.

Para separar en partes iguales la recta se utiliza el teorema de tales para construir una macro que divida un segmento en tres partes iguales: se dibuja un segmento y aplicando, la regla de Thales, se obtienen los dos puntos que lo dividen en tres partes iguales. El objeto inicial

de la macro es el segmento original y el objeto final los dos puntos obtenidos.Y se repite el proceso infinitas veces.

 

La curva de Koch 

La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su construcción se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor.

Para su construcción:

Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas poligonales que resultan en cada

En esta se aplica el teorema de thales para construir una construir una macro, que llamaremos koch asociada al algoritmo: se dibuja un segmento al que se le aplica la macro thales que lo divide en tres partes iguales, y sobre el segmento central se construye un triángulo equilátero. El objeto inicial de la macro es el segmento original y el objeto final son los dos segmentos de los extremos y los dos lados superiores del triángulo.

El triángulo de Sierpinski

El triángulo de Sierpinski fue ideado porWaclaw Sierpinski en 1915. Su construcción se hace mediante un proceso similar al de los conjuntos anteriores. El triángulo de Sierpinski se obtiene después de infinitas repeticiones de un algoritmo geométrico sencillo: dividir un triángulo equilátero en cuatro triángulos iguales y eliminar el triángulo equilátero central, es decir quedarnos con los tres triángulos de los vértices.

Para su construccion:

Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro triángulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres triángulos equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres triángulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski.

En este fractal se usan los puntos medios para construir una macro, que llamaremos
sierpinski asociada al algoritmo: se dibuja un triángulo equilátero, se hallan los puntos medios de los lados y se dibujan los tres triángulos de los vértices, que se rellenan de cierto color. El objeto inicial de la macro es el triángulo original y el objeto final son los tres triángulos de los extremos.

La alfombra de Sierpinski

Se parte de un cuadrado de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en nueve cuadrados iguales (lo que se consigue dividiendo cada lado en tres partes iguales) y eliminar el cuadrado central, es decir nos quedamos con ocho cuadrados. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el objeto fractal conocido como alfombra de Sierpinski.

La alfombra de Sierpinski se obtiene después de infinitas repeticiones de un algoritmo geométrico sencillo: dividir un cuadrado en nueve cuadrados iguales y eliminar el cuadrado central, es decir quedarnos con los ocho cuadrados de la frontera.

En este fractal se utiliza el teorema de thales para construir una macro, que llamaremos
alfombra asociada al algoritmo: se dibuja un cuadrado, se aplica lamacro thales a sus cuatro lados y se dibujan los ocho cuadrados de la frontera, que se rellenan de cierto color. El objeto inicial de la macro es el cuadrado original y el objeto final son los ocho cuadrados de la frontera.

Los Fractales en la informática

De muchas maneras los fractales en el área de la informática son muy comunes, esto se debe  que existen una gran variedad de software los cuales nos permiten crear fractales, entre estos  tenemos:

·         Fractint: es un tipo de software creado para la elaboración de fractales y es  probablemente, el mejor programa de generación de fractales. Permite:

1.       Crear más de 100 tipos diferentes de fractales

2.       Permite soporte para fractales IFS y Lindenmayer,

3.       La posibilidad de crear nuevos tipos de fractales personalizados, a partir de fórmulas definidas por el usuario

4.       Capacidad de zoom rápida y profunda,

5.       Gran variedad de modos de pantalla (reales o virtuales)

Y  muchas más ventajas que hacen de este software uno de los mejores, además de ser gratuito.

·         Ultra Fractal: es un tipo de software creado para la elaboración de fractales. Este hace competencia directa con Fractint debido a que permite:

1.       Incluye ventanas para edición de texto

2.       Contiene algunas opciones de retoque

3.       Edición al estilo PhotoShop como el tratamiento de capas y el antialiasing

4.       Permite crear una gran variedad de fractales

Entre otras ventajas

·         Fractal orbits: es un software de generación de fractales creado por Phil Packard. Este ofrece un buen número de posibilidades gráficas para la creación de imágenes de fractales, estos se crean generando órbitas a partir de zonas específicas de un fractal. Fractal Orbits utiliza el formato GIF para el almacenamiento de datos, lo que permite guardar los parámetros fractales junto con la imagen en el mismo archivo.

Pese a que su manejo no es demasiado complicado, este software no es tan recomendado debido a la lentitud del mismo para la elaboración del fractal.

·         FDesign: es un programa orientado a la creación de fractales IFS. Los requerimientos del programa son prácticamente los mismos que los de Fractint, y además es 100% compatible con este último, al poder exportar e importar archivos de parámetros. Este software omite el uso del teclado y permite elaborar hasta más de 100 fractales diferentes.